北师大版八年级数学上册第6章-数据的分析

北师大版八年级数学上册第6章-数据的分析(培优试题)(总7页)

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第六章 数据的分析

平均数

专题 探究性问题

1．在上学期的几次测试中,小张和小王的几次数学成绩如下表.(单位:分) 平时成绩 期中成绩 期末成绩 小张 82 85 91 小王 84 89 86 两人都说自己的数学成绩更好,请你想一想:

（1）小张可能是根据什么来判断的? 小王可能是根据什么来判断的? （2）你能根据小张的想法设计一种方案使小张的成绩比小王高吗?写出你的方案.

2．教育局为了了解本地区八年级学生数学基本功情况,从两个不同的学校分别抽取一部分学生进行数学基本功比赛.其中A校40人,平均成绩为85分; B校50人,平均成绩为95分.

（1）小李认为这两个学校的平均成绩为×(85+95)=90(分).他的想法对吗?若不对请写出你认为正确的答案.

（2）其他条件不变,当A校抽查的人数为多少人时,所抽查两校学生的平均成绩才是90分?

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（3）根据上面数据:a1,a2,…,am;b1,b2,…,bn;c1,c2,…,cp;d1,d2,…,dq.每一组数据的平均数分别为a、b、c、d.将这四组数据合并为一组数据: a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn,c1,c2,…,cp,d1,d2,…,dq.

问当m、n、p、q满足什么条件时,它的平均数为(a＋b＋c＋d)并说明理由.

14答案：

1．解： (1)小王可能是根据算术平均数来判断的,小张可能是根据加权平均数来判断的.

(2)参考方案:平时成绩、期中成绩、期末成绩所占的百分比分别为30%,30%,40%,这样小张的综合成绩就是分,小王的综合成绩就是分. 2．解：(1)小李的想法不对.正确的答案为: 平均成绩=

85409550(分)

5040(2)设A校抽查人数为x人,由题意可得方程:95×50＋85x=90(50＋x),解得x=50.

所以当A校所抽查的人数也是50人时,两个学校的平均成绩才是90分. (3)当四组数据的个数相等时,即m=n=p=q时,

a1,a2,…,am,b1,b2,…,bn,c1,c2,…,cp,d1,d2,…,dq的平均数为(a＋b＋c＋d).

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理由如下:平均数=

ambncpdqambmcmdm1=(a＋b＋c＋d).

mnpqmmmm4中位数与众数、从统计图分析数据的集中趋势

专题 数据代表的选择

1．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加．按团体总分多少排列名次．在规定时间每人踢100个以上（含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）： 1234 5 平均数 众中位优秀率 号 号 号 号 号 4

数 数 甲班 乙班 98 98 110 92 102 88 99 99 119 95 请你回答下列问题： （1）填写表格；

（2）根据以上信息，请你回答下列问题：

①从平均数、众数相结合的角度分析，应该把冠军奖状发给哪一个班级？ ②从优秀率的角度分析，应该把冠军奖状发给哪一个班级

（3）如果两个班各选两名同学参加市踢毽子的比赛，你认为哪个班级团体实力更强 为什么？

2．某学校准备从八年级（1）、（4）、（8）班这三个班中推荐一个班作为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表（以分为单位，每项满分为10分）： 班级 八（1）班 八（4）班 八（8）班 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生 10 10 9 10 8 10 6 8 9 10 9 6 7 8 9 5

（1）请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中，哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将他们的得分进行排序；

（2）根据你对表中五个项目的重要程度的认识，设定一个各项考评内容的比例（比例的各项须满足：①均为整数；②总和为10；③不全相同），按这个比例对各班的得分重新计算，比较出大小关系，并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班．

答案：

1．解：（1）甲班的平均数，众数，中位数，优秀率分别为：100，98，98，40%；

乙班的平均数，众数，中位数，优秀率分别为：100，99，99，20%.

（2）①两个班的平均数相等，从众数的角度看，乙班好于甲班，应该把冠军奖状发给乙班；

②从优秀率的角度看，甲班好于乙班，应该把冠军奖状发给甲班． （3）如果两个班各选两名同学参加市踢毽子的比赛，乙班级团体实力更强，因为乙班前两名的同学的总成绩为218个，而甲班为212个． 2．解：（1）设P1，P4，P8依次为3个班考评分的平均数， W1，W4，W8依次为三个班考评分的中位数， Z1，Z4，Z8依次为三个班考评分的众数． 1则：P1=（10+10+6+10+7）=（分）， 56

1P4=（8+8+8+9+10）=（分）， 51P8=（9+10+9+6+9）=（分）， 5W1=10（分），W4=8（分），W8=9（分）， Z1=10（分），Z4=8（分），Z8=9（分） ∴平均数不能反映这三个班的考评结果的差异，而用中位数（或众数）能反映差异，且W1＞W8＞W4（或Z1＞Z8＞Z4）. （2）给出一种参考答案: 选定行为规范 ：学习成绩 ：校运动会 ：艺术获奖 ：劳动卫生=3 ：2 ：3 ：1 ：1. 设K1、K4、K8依次为3个班的考评分， 则：K1=×10+×10+×6+×10+×7=(分), K4=×10+×8+×8+×9+×8=(分), K8=×9+×10+×9+×6+×9=(分). ∵K8＞K4＞K1， ∴推荐八（8）班作为市级先进班集体的候选班．

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数据的离散程度

专题 探究创新题

1．已知样本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（ ）

A．1 D．4

B．2

C．3

2．（2012湖北孝感）已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则新的一组数

据ax1+1, ax2+1, …,axn+ 1（a为常数,a≠0）的方差是 (用含a,s2的代数式表示) ．

1 （友情提示：s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn+x)2]）

n3．观察与探究：（1）观察下列各组数据并填空： 2A. 1，2，3，4，5. xA=___________，SA=___________； 2B. 11，12，13，14，15. xB=___________，SB=___________； 2C. 10，20，30，40，50. xC=___________，SC=___________； 2D. 3，5，7，9，11. xD=___________，SD=___________． （2）分别比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？ （3）若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是x，方差为S2，求另一组数据3x1-2，3x2-2，…， 3xn-2的平均数，方差.

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答案：

1．D 【解析】 设样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为m，

则其方差为S12=[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+…+（xn﹣m）2]=1， 则样本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均数为2m，其方差为S22=4S12=4．故选D．

2．a2s2 【解析】 设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2, 则

x1x2xn1=x，[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn+x)2]=s2.

2nax11ax22axn1a(x1x2xn)n==ax+1.

nn1n∴

1新的一组数据的方差s′2=[(ax1+1－ax－1)2+(ax2+1－ax－1)2+…+(axn+1－

n11ax－1)2] =[(ax1－ax)2+(ax2－ax)2+…+(axn－x)2] ={[a(x1－x)]2+[a(x2－

nn1x)]2+…+[a(xn－x)]2}=[a2 (x1－x)2]+[a2 (x2－x)2]+ …+[a2 (xn－x)2]

n1=a2•[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]）=a2s2.

n即新的一组数据ax1+1, ax2+1, …,axn+ 1（a为常数,a≠0）的方差是a2s2.

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22223．解：（1）xA=3，SA=2，xB=13，SB=2，xC=30，SC=200，xD=7，SD=8.

（2）规律：有两组数据，设其平均数分别为x1，x2，方差分别为s12，s22. ①当第二组每个数据比第一组每个数据都增加m个单位时，则有x2=x1+m，s22=s12；

②当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍时，则有x2=nx1，s22=n2s12； ③当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍加m时，则有x2=nx1+m，s2=ns1

（3）另一组数据的平均数x'=

11（3x1-2+3x2-2+…+3xn-2）=[3nn2

2

2

（x1+x2+…+xn）-2n]=3x-2； 因为s2=s′2=

1[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，所以另一组数据的方差为n1[（3x1-2-3x+2）2+（3x2-2-3x+2）2+…+（3xn-2-3x+2）2] n1= [9（x1-x）2+9（x2-x）2+…+9（xn-x）2]=9s2． n10